В коробке под классной доской лежат 5 красных и 5 синих маркеров. Ваня выбирает по очереди два случайных маркера. Рассмотрим события А – «первый маркер красный» и В – «второй маркер синий». а) Являются ли события А и В в этом опыте независимыми? б) Изобразите подходящее дерево этого случайного опыта и найдите вероятность события С «выбранные маркеры оказались одного цвета».

а) Независимость событий А и В

События А и В являются зависимыми, потому что исход первого выбора (красный или синий) влияет на вероятность второго выбора.

Ответ: События А и В являются зависимыми.

б) Дерево случайного опыта и вероятность события C

Дерево случайного опыта:

• Первый выбор:
  • Красный (А): 5/10 = 1/2
  • Синий (Ā): 5/10 = 1/2
• Второй выбор (после выбора красного):
  • Красный (B): 4/9
  • Синий (\(\overline{B}\)): 5/9
• Второй выбор (после выбора синего):
  • Красный (B): 5/9
  • Синий (\(\overline{B}\)): 4/9

Событие C – «выбранные маркеры оказались одного цвета». Это значит, что либо оба маркера красные, либо оба синие.

• Вероятность выбрать два красных маркера: P(A \cap B) = (1/2) * (4/9) = 4/18 = 2/9
• Вероятность выбрать два синих маркера: P(\(\overline{A}\) \cap \(\overline{B}\)) = (1/2) * (4/9) = 4/18 = 2/9

Вероятность события C:

\[P(C) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}\]

Ответ: Вероятность события С равна 4/9.