4. В круг радиуса \frac{3\sqrt{2}}{2} см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она попадёт в данный треугольник. Ответ округлите до сотых.

Радиус круга: $$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ см

Площадь круга: $$S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{9\pi}{2} \approx 14,137 \text{ см}^2$$

Вписанный равнобедренный прямоугольный треугольник - это половина квадрата, вписанного в круг.

Сторона квадрата равна $$a = R\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \text{ см}$$

Площадь треугольника равна половине площади квадрата:

$$S_{тр} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ см}^2$$

Вероятность попадания точки в треугольник:

$$P = \frac{S_{тр}}{S_{кр}} = \frac{4,5}{\frac{9\pi}{2}} = \frac{4,5 \cdot 2}{9\pi} = \frac{9}{9\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0,318$$

Округляем до сотых: 0,32

Ответ: 0,32