В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите 1. двугранный угол между плоскостями ($$A_1BC$$) и ($$ABC$$).

1. Для решения данной задачи необходимо понимать определение двугранного угла и уметь строить линейный угол двугранного угла.

Двугранный угол - это угол, образованный двумя полуплоскостями, имеющими общую прямую (ребро двугранного угла).

Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный двумя лучами, выходящими из одной точки на ребре двугранного угла и перпендикулярными ребру.

В данном случае, плоскости $$(A_1BC)$$ и $$(ABC)$$ имеют общую прямую $$BC$$, которая является ребром двугранного угла.

Поскольку $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - куб, все его грани являются квадратами. Следовательно, $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а значит, и прямой $$BC$$, лежащей в этой плоскости. Проведем $$AH$$ перпендикулярно $$BC$$ в плоскости $$ABC$$. Тогда $$A_1H$$ также перпендикулярна $$BC$$ (по теореме о трех перпендикулярах).

Следовательно, угол $$A_1HA$$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $$(A_1BC)$$ и $$(ABC)$$.

В прямоугольном треугольнике $$A_1AH$$, угол $$A_1AH$$ равен $$90^\circ$$, так как $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$.

Таким образом, двугранный угол между плоскостями $$(A_1BC)$$ и $$(ABC)$$ равен $$90^\circ$$.

Ответ: $$90^\circ$$