В правильной треугольной пирамиде (тетраэдре) с ребром $$a$$ найдите 2. двугранный угол при ребре основания.

2. Рассмотрим правильный тетраэдр $$SABC$$ с ребром $$a$$. Необходимо найти двугранный угол при ребре основания $$AC$$.

Пусть $$M$$ - середина ребра $$AC$$. Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то $$BM$$ является медианой и высотой, следовательно $$BM \perp AC$$. Аналогично, $$SM \perp AC$$, так как треугольник $$SAC$$ равносторонний.

Тогда угол $$BMS$$ является линейным углом двугранного угла при ребре $$AC$$.

В треугольнике $$ABC$$, $$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Аналогично, $$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$.

Рассмотрим треугольник $$BMS$$. Из теоремы косинусов:

$$BS^2 = BM^2 + SM^2 - 2 \cdot BM \cdot SM \cdot \cos(\angle BMS)$$

$$a^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle BMS)$$

$$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle BMS)$$

$$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle BMS)$$

$$\frac{3}{2} \cos(\angle BMS) = \frac{1}{2}$$

$$\cos(\angle BMS) = \frac{1}{3}$$

$$\angle BMS = \arccos(\frac{1}{3})$$

Ответ: $$\arccos(\frac{1}{3})$$