В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1AB = 8, AD =$$ 4. 6, $$AA_1 = 8$$. Найдите двугранный угол между плоскостями ($$CDD_1$$) и ($$CDA_1$$).

4. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AB = 8$$, $$AD = 6$$, $$AA_1 = 8$$. Найдем двугранный угол между плоскостями $$(CDD_1)$$ и $$(CDA_1)$$.

Плоскости $$CDD_1$$ и $$CDA_1$$ пересекаются по прямой $$CD$$. В плоскости $$ABCD$$ проведем $$DK \perp CD$$, а в плоскости $$A_1CD$$ проведем $$A_1K \perp CD$$. Тогда угол $$A_1KD$$ является линейным углом искомого двугранного угла.

Так как параллелепипед прямоугольный, $$AD \perp CD$$. Значит, $$DK$$ совпадает с $$AD$$ и $$DK=AD=6$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1DA$$. В нем $$A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$.

Рассмотрим треугольник $$A_1KD$$. $$A_1K$$ - высота, следовательно $$A_1K \perp CD$$

$$A_1K = \frac{A_1D \cdot AD}{CD} = \frac{A_1D \cdot AD}{AB} = \frac{10 \cdot 6}{8} = 7.5$$

Теперь можно найти тангенс угла $$A_1KD$$:

$$\tan(\angle A_1KD) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

$$\angle A_1KD = \arctan(\frac{4}{3})$$

Тогда, искомый угол равен $$\arctan(\frac{AA_1}{AD})=\arctan(\frac{8}{6})=\arctan(\frac{4}{3})$$

Ответ: $$\arctan(\frac{4}{3})$$