281 В кубе ABCDA,B,C,D, из вершины D₁ проведены диагонали граней DA, DC и D,B, и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник D₁ABC – правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Доказательство, что D₁ABC – правильный тетраэдр:

Все ребра тетраэдра D₁ABC равны диагонали грани куба, т.е. $$D_1A = D_1B = D_1C = AB = BC = AC = a\sqrt{2}$$, где a – ребро куба. Следовательно, D₁ABC – правильный тетраэдр.

Площадь поверхности куба:

Площадь одной грани куба равна $$a^2$$, а всего у куба 6 граней, поэтому площадь поверхности куба равна $$6a^2$$.

Площадь поверхности тетраэдра:

Площадь одной грани правильного тетраэдра равна площади равностороннего треугольника со стороной $$a\sqrt{2}$$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$, где b – сторона треугольника. В нашем случае $$b = a\sqrt{2}$$, поэтому площадь одной грани тетраэдра равна $$\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$.

Тетраэдр имеет 4 грани, поэтому площадь поверхности тетраэдра равна $$4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3}$$.

Отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра:

$$\frac{6a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$.

Ответ: отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра равно $$\sqrt{3}$$.