3. В кубе A...D1 найдите синус угла между прямой DD1 и плоскостью ACB1.

Рассмотрим куб $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$. Нам нужно найти синус угла между прямой $$DD_1$$ и плоскостью $$ACB_1$$. 1. Проведём диагональ $$DB$$. 2. Плоскость $$DD_1B_1B$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$. 3. $$O$$ — точка пересечения $$DB_1$$ и $$D_1B$$. 4. Значит, нужно найти угол между прямой $$DD_1$$ и прямой $$DO$$, где $$DO$$ - проекция прямой $$DD_1$$ на плоскость $$ACB_1$$. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DD_1B$$. $$DD_1 = a$$, $$DB = a\sqrt{2}$$. 6. Тогда $$DB_1 = \sqrt{DD_1^2 + DB^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$$. 7. Пусть $$\alpha$$ - угол между $$DD_1$$ и $$DB_1$$. $$DO = \frac{1}{2}DB_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. 8. Синус угла между прямой $$DD_1$$ и плоскостью $$ACB_1$$ равен синусу угла между $$DD_1$$ и $$DO$$. 9. $$\sin{\alpha} = \frac{D_1O}{DD_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$. **Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$**