1. В правильной треугольной призме ABC A1B1C1 сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.

Рассмотрим правильную треугольную призму $$ABC A_1B_1C_1$$, где сторона основания $$AB = BC = AC = 2$$, а высота $$AA_1 = BB_1 = CC_1 = 3$$. Нам нужно найти угол между плоскостями $$ABC$$ и $$A_1BC$$. 1. Опустим перпендикуляр $$A_1H$$ на прямую $$BC$$. Так как треугольник $$A_1BC$$ равнобедренный ($$A_1B = A_1C$$), $$H$$ является серединой $$BC$$. 2. Опустим перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$BC$$. Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, $$H$$ является серединой $$BC$$. 3. Тогда угол между плоскостями $$ABC$$ и $$A_1BC$$ — это угол $$AHA_1$$. 4. Найдём $$AH$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ со стороной 2, $$AH$$ является высотой, поэтому $$AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$$. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHA_1$$. В нём $$AA_1 = 3$$, $$AH = \sqrt{3}$$. Тогда $$\tan{\angle AHA_1} = \frac{AA_1}{AH} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$. 6. Следовательно, $$\angle AHA_1 = \arctan{\sqrt{3}} = 60^{\circ}$$. **Ответ: 60°**