8. В квадрат вписана окружность и около него описана окружность. Длина большей окружности равна \(8 \pi\). Найдите площадь кольца.

Пусть сторона квадрата равна *a*. Вписанная окружность имеет радиус \(r = \frac{a}{2}\). Описанная окружность имеет радиус \(R\), который можно найти из длины окружности \(C = 2\pi R\). По условию, длина большей окружности равна \(8\pi\), значит, \[2\pi R = 8\pi\] \[R = \frac{8\pi}{2\pi} = 4\] Радиус описанной окружности равен 4. Так как описанная окружность проходит через вершины квадрата, ее радиус связан со стороной квадрата следующим образом: \[R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[4 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\] Теперь найдем радиус вписанной окружности: \[r = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] Площадь кольца равна разности площадей большей и меньшей окружностей: \[S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (4^2) - \pi (2\sqrt{2})^2 = 16\pi - 8\pi = 8\pi\] Ответ: Площадь кольца равна \(8\pi\).