191 В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции AMCD, где точка М: a) середина стороны ВС; б) делит отрезок ВС в отношении 1:2, считая от точки С; в) делит отрезок ВС в отношении m:n, считая от точки В.

Пусть сторона квадрата равна a. Площадь квадрата равна \(a^2\). a) Если M – середина стороны BC, то BM = MC = \(\frac{a}{2}\). Площадь трапеции AMCD равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(\frac{AD + MC}{2} \cdot CD = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot a = \frac{\frac{3}{2}a}{2} \cdot a = \frac{3}{4}a^2\). Вероятность равна \(\frac{\frac{3}{4}a^2}{a^2} = \frac{3}{4}\). б) Если M делит отрезок BC в отношении 1:2, считая от точки C, то CM = \(\frac{1}{3}a\) и BM = \(\frac{2}{3}a\). Площадь трапеции AMCD равна \(\frac{AD + MC}{2} \cdot CD = \frac{a + \frac{1}{3}a}{2} \cdot a = \frac{\frac{4}{3}a}{2} \cdot a = \frac{2}{3}a^2\). Вероятность равна \(\frac{\frac{2}{3}a^2}{a^2} = \frac{2}{3}\). в) Если M делит отрезок BC в отношении m:n, считая от точки B, то BM = \(\frac{m}{m+n}a\) и MC = \(\frac{n}{m+n}a\). Площадь трапеции AMCD равна \(\frac{AD + MC}{2} \cdot CD = \frac{a + \frac{n}{m+n}a}{2} \cdot a = \frac{\frac{m+2n}{m+n}a}{2} \cdot a = \frac{m+2n}{2(m+n)}a^2\). Вероятность равна \(\frac{\frac{m+2n}{2(m+n)}a^2}{a^2} = \frac{m+2n}{2(m+n)}\). Ответы: a) \(\frac{3}{4}\) б) \(\frac{2}{3}\) в) \(\frac{m+2n}{2(m+n)}\)