4. В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью p=0,5. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний наступит ровно 2 успеха.

Вероятность ровно k успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{n-k}$$

Где:

• ( n ) - количество испытаний
• ( k ) - количество успехов
• ( p ) - вероятность успеха в одном испытании
• ( C_n^k ) - количество сочетаний из n по k, которое вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} )

В нашем случае: ( n = 4 ), ( k = 2 ), ( p = 0.5 ).

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 * 3 * 2 * 1}{(2 * 1)(2 * 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

$$P(2) = 6 * (0.5)^2 * (1-0.5)^{4-2} = 6 * (0.5)^2 * (0.5)^2 = 6 * 0.25 * 0.25 = 6 * 0.0625 = 0.375$$

Ответ: Вероятность того, что в серии из 4 испытаний наступит ровно 2 успеха, равна 0.375.