В одну окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат. Найдите сторону квадрата, если сторона шестиугольника равна 7.

Пусть $$a_6$$ - сторона правильного шестиугольника, а $$a_4$$ - сторона квадрата. Так как шестиугольник и квадрат вписаны в одну и ту же окружность, то радиусы их описанных окружностей равны.

Тогда $$R_6 = a_6$$, а $$R_4 = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$$. Из этого следует, что $$a_6 = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$$.

Из условия $$a_6 = 7$$. Тогда $$a_4 = \frac{2a_6}{\sqrt{2}} = a_6\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \approx 9.9$$

Ответ: $$a_4 = 7\sqrt{2} \approx 9.9$$