В окружность радиуса 6√3 с центром в точке О вписан треугольник ABC, в котором ∠B = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АОС.

Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC, R = 6√3. Угол ∠B = 30°. По теореме синусов, AC / (2R) = sin(B), то есть AC = 2R * sin(B) = 2 * 6√3 * sin(30°) = 2 * 6√3 * (1/2) = 6√3.

Центральный угол ∠AOC равен удвоенному углу ∠B, то есть ∠AOC = 2 * 30° = 60°. Треугольник AOC равнобедренный (AO = OC = R = 6√3). Значит, углы ∠OAC и ∠OCA равны (180° - 60°) / 2 = 60°. Следовательно, треугольник AOC равносторонний, и AC = AO = OC = 6√3.

Радиус окружности, описанной около треугольника AOC, можно найти по формуле R' = AC / (2 * sin(∠AOC)). Поскольку ∠AOC = 60°, sin(60°) = √3/2, то R' = (6√3) / (2 * (√3/2)) = (6√3) / √3 = 6.

Ответ: 6