В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Периметр треугольника равен 30 см, периметр квадрата равен:

Для начала, разберемся с треугольником. Так как периметр правильного (равностороннего) треугольника равен 30 см, то длина каждой стороны треугольника равна: $$30 \text{ см} / 3 = 10 \text{ см}$$.

Теперь рассмотрим квадрат. Пусть сторона квадрата равна *a*. Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Также, высота равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность, равна радиусу окружности, умноженному на 3/2.

Высота равностороннего треугольника со стороной 10 см равна:$$h = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$$.

Радиус описанной окружности вокруг треугольника равен: $$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$.

Диаметр окружности равен:$$D = 2R = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$.

Диагональ квадрата равна $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$ см. Сторона квадрата связана с диагональю соотношением $$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$$, где d - диагональ квадрата. Следовательно, сторона квадрата равна:

$$a = \frac{20\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{6}}{6} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \text{ см}$$.

Периметр квадрата равен:$$P = 4a = 4 \cdot \frac{10\sqrt{6}}{3} = \frac{40\sqrt{6}}{3} \text{ см}$$.