4. В окружности по разные стороны от диаметра MN проведены равные хорды МК и NL. Докажите, что MK||NL.

Пусть O - центр окружности. Соединим точки M и K с центром O, а также N и L с центром O. Тогда OK = OL = OM = ON = R (радиус окружности).

Рассмотрим треугольники MOK и NOL. У них MK = NL (по условию), OK = OL = R, OM = ON = R. Значит, треугольники MOK и NOL равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠MOK = ∠NOL.

∠MOK = ∠NOL

∠MOK + ∠KON = ∠NOL + ∠KON

∠MON = ∠KOL

Диаметр MN делит окружность на две полуокружности по 180°. Следовательно, ∠MON = 180°.

Значит, ∠KOL = 180°.

То есть точки K, O и L лежат на одной прямой. KL - диаметр.

Рассмотрим четырехугольник MKNL. OK = OL = R, OM = ON = R. Следовательно, диагонали четырехугольника MKNL точкой пересечения делятся пополам. Значит, MKNL - параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны.

Следовательно, MK || NL.

Ответ: Доказано.