5. В окружности проведены диаметр АВ и равные хорды АС и AD. Докажите, что ΔАВС = ΔABD.

Дано: Окружность с центром в точке O, AB - диаметр, AC = AD.

Доказать: ΔАВС = ΔABD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔАВС и ΔABD.

1. AB - общая сторона.
2. AC = AD (по условию).
3. ∠ACB и ∠ADB - прямые, так как опираются на диаметр (угол, опирающийся на диаметр - прямой). Следовательно, ∠ACB = ∠ADB = 90°.

ΔАВС и ΔABD - прямоугольные треугольники. AB - гипотенуза, AC и AD - катеты.

По теореме Пифагора:

BC² = AB² - AC²

BD² = AB² - AD²

Так как AC = AD, то AC² = AD², следовательно:

BC² = BD²

BC = BD

ΔАВС = ΔABD по трем сторонам (AB - общая, AC = AD, BC = BD).

Что и требовалось доказать.

Ответ: ΔАВС = ΔABD