10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке К, АК = 4, KB = 9, DK = 3. HНайдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Найдем площадь круга, ограниченного окружностью, в которой проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K, AK = 4, KB = 9, DK = 3.

1. Найдем длину отрезка KC: Так как произведения отрезков пересекающихся хорд равны, то AK · KB = CK · KD. $$ 4 \cdot 9 = CK \cdot 3 $$ $$ 36 = CK \cdot 3 $$ $$ CK = \frac{36}{3} = 12 $$
2. Найдем длины хорд AB и CD: $$ AB = AK + KB = 4 + 9 = 13 $$ $$ CD = CK + KD = 12 + 3 = 15 $$
3. Найдем координаты центра окружности (O) и радиус (R). Так как хорды перпендикулярны, то можно ввести систему координат с началом в точке K, где AB лежит на оси X, а CD - на оси Y. Тогда координаты точек A, B, C, D будут: A(-4, 0), B(9, 0), C(0, 12), D(0, -3). Центр окружности O является серединой отрезка, соединяющего середины хорд AB и CD. Середина хорды AB имеет координату $$ \frac{-4+9}{2} = \frac{5}{2} $$, а середина хорды CD имеет координату $$ \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2} $$. Поэтому центр окружности O имеет координаты $$ (\frac{5}{2}, \frac{9}{2}) $$.
4. Найдем радиус окружности R. Это расстояние от центра окружности O до любой из точек на окружности, например, до точки A(-4, 0): $$ R = \sqrt{(\frac{5}{2} - (-4))^2 + (\frac{9}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{8}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(\frac{13}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \sqrt{\frac{125}{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{2} $$
5. Найдем площадь круга S: $$ S = \pi R^2 = \pi (\frac{5\sqrt{10}}{2})^2 = \pi \frac{25 \cdot 10}{4} = \frac{250 \pi}{4} = \frac{125 \pi}{2} $$

Ответ: 125π/2