В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что \(\angle BAC = \angle BAD\) (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим углы \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\). По условию, они равны, то есть \(\angle BAC = \angle BAD\). Умножим обе части этого равенства на 2: \(2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot \angle BAD\) \(\angle BOC = \angle BOD\) (центральные углы, опирающиеся на дуги BC и BD, которые в два раза больше вписанных углов \(\angle BAC\) и \(\angle BAD\) соответственно). Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle AOD\). В них: * AO – общая сторона, * OC = OD (как радиусы окружности), * \(\angle AOC = \angle AOD\). Следовательно, \(\triangle AOC = \triangle AOD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = AD. Что и требовалось доказать.