5*. В окружности с центром О проведены диаметр АС и хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем ВM = DM. ∠BAC35°. Найдите ∠BAD.

Дано: Окружность с центром O, диаметр AC, хорда BD пересекает AC в точке M, BM = DM, ∠BAC = 35°.

Найти: ∠BAD.

Решение:

1. Так как BM = DM, то AM - медиана треугольника ABD. Поскольку AC - диаметр, то центр окружности O является серединой AC. Таким образом, AM - медиана, проведенная к стороне BD.
2. В треугольнике ABD медиана AM является также высотой, то есть AM ⊥ BD и ∠AMB = 90°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и AB = AD.
3. ∠ABC - вписанный угол, опирающийся на диаметр AC, значит, ∠ABC = 90°.
4. ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 35° = 55°.
5. Так как AB = AD, то дуги AB и AD равны, а значит, ∠BAD = 2 * ∠BCD.
6. ∠BCD = ∠ACB = 55°.
7. ∠BAD = 2 * 55° = 110°.

Ответ: ∠BAD = 110°.