3. В окружности с центром O вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, равным 12 м. Высота CH равна 2 м. Найдите радиус окружности, если угол C — тупой.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AB = 12 м и высотой CH = 2 м. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Поскольку угол C тупой, центр окружности O лежит вне треугольника, на продолжении высоты CH за точку H. Пусть радиус окружности равен R, тогда OC = R. Так как CH = 2, то OH = OC + CH = R + 2. Обозначим середину AB как M. Тогда AM = MB = AB/2 = 12/2 = 6 м. OM перпендикулярно AB, и треугольник AMO прямоугольный. По теореме Пифагора для треугольника AMO: \(AO^2 = AM^2 + OM^2\) \(R^2 = 6^2 + OM^2\) Так как OH = R + 2, то OM = |OH - HM| = |R + 2 - HM|. Заметим, что HM = CH + CM. Найдём CM. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, высота CH является и медианой. А также учтем, что OH = |HM - R| = |CH - CO| = |R-2| = R-2, тогда O лежит на продолжении высоты CH. Поскольку CH=2, то OH = R-2, а также, \(R^2 = 6^2 + (R-2)^2\) \(R^2 = 36 + R^2 -4R + 4\) \(0 = 40 - 4R\) \(4R = 40\) \(R = 10\) Радиус окружности равен 10 м. Ответ: 10