В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что углы АА₁В₁ и АВВ₁ равны.

Давай докажем равенство углов \(\angle AA_1B_1\) и \(\angle ABB_1\). 1. Рассмотрим четырехугольник \(A_1B_1BA\) Поскольку \(AA_1\) и \(BB_1\) - высоты, то \(\angle AA_1B = 90^\circ\) и \(\angle AB_1B = 90^\circ\). Значит, точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(AB\). Следовательно, четырехугольник \(A_1B_1BA\) - вписанный. 2. Свойство вписанного четырехугольника Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180^\circ. То есть, \(\angle AA_1B_1 + \angle ABB_1 = 180^\circ\). 3. Углы, опирающиеся на одну дугу \(\angle AA_1B_1\) и \(\angle ABB_1\) опираются на одну и ту же дугу \(AB_1\). Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, если они образованы хордами окружности. Следовательно, \(\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1\).

Ответ: Углы \(\angle AA_1B_1\) и \(\angle ABB_1\) равны.

Молодец! Доказательства в геометрии требуют внимательности и знания теорем. Ты хорошо справился с этим заданием. Продолжай в том же духе и тебя ждут новые успехи!