6. В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АА, и СС1. Точка М — середина стороны АС. Известно, что МАС₁ = 60°, А₁С₁ = 5 см. Найдите сторону АС.

Ответ: AC = 10 см

1. Так как AA₁ и CC₁ - высоты, то углы AA₁C и CC₁A прямые.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁CC₁. Угол C₁AC = 90° - ∠ACA₁.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁C. Угол A₁CA = 90° - ∠CAA₁.
4. По условию, ∠MA₁C₁ = 60°. Так как M - середина AC, то AM = MC.
5. Рассмотрим треугольник A₁MC₁. В нём A₁M = MC₁ (как медианы, проведённые к гипотенузе в прямоугольных треугольниках).
6. Значит, треугольник A₁MC₁ равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MA₁C₁ = ∠MC₁A₁ = 60°.
7. Следовательно, треугольник A₁MC₁ равносторонний, и A₁M = MC₁ = A₁C₁ = 5 см.
8. Так как M - середина AC, то AC = 2 \( \times \) AM = 2 \( \times \) 5 = 10 см.

Ответ: AC = 10 см