В остроугольном треугольнике ZPM проведены высоты ZZ₁ и РР1. Докажите, что углы 24 ZZP и ZPP, равны.

Рассмотрим остроугольный треугольник ZPM, в котором проведены высоты ZZ₁ и PP₁.

Нужно доказать, что углы $$\angle ZZ_1P_1$$ и $$\angle ZP_1P$$ равны.

Высоты ZZ₁ и PP₁ пересекаются в точке H (ортоцентр треугольника ZPM).

Рассмотрим четырехугольник ZP₁HZ₁. В этом четырехугольнике углы $$\angle ZP_1H$$ и $$\angle Z_1ZH$$ прямые (так как PP₁ и ZZ₁ - высоты).

Следовательно, сумма углов $$\angle ZP_1H + \angle Z_1ZH = 180^\circ$$.

Тогда сумма двух других углов в четырехугольнике ZP₁HZ₁ также равна 180^\circ (так как сумма углов четырехугольника равна 360^\circ):$$\angle Z + \angle P_1HZ_1 = 180^\circ$$.

Углы $$\angle P_1HZ_1$$ и $$\angle P_1HP$$ являются смежными, следовательно, их сумма равна 180^\circ: $$\angle P_1HZ_1 + \angle P_1HP = 180^\circ$$.

Тогда $$\angle P_1HP = \angle Z$$

Рассмотрим треугольники P₁HP и Z₁HZ. Они являются прямоугольными (так как PP₁ и ZZ₁ - высоты).

Тогда $$\angle ZP_1P + \angle P_1HP = 90^\circ$$ и $$\angle ZZ_1P_1 + \angle Z = 90^\circ$$.

Так как $$\angle P_1HP = \angle Z$$, то $$\angle ZP_1P = \angle ZZ_1P_1$$

Что и требовалось доказать.