8.60. В параллелепипеде все грани — равные ромбы с острым углом 60° и стороной а. Найдите: а) диагонали параллелепипеда; б) его высоту; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол между соседними гранями.

a) Диагонали параллелепипеда:

Обозначим диагонали параллелепипеда как \(d_1\) и \(d_2\). Т.к. все грани - ромбы, углы между гранями составляют 60° или 120°.

Квадрат диагонали \(d_1\) равен: \(d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2cos(120°) = 3a^2\). Отсюда, \(d_1 = a\sqrt{3}\)

Квадрат диагонали \(d_2\) равен: \(d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2cos(60°) = 6a^2\). Отсюда, \(d_2 = a\sqrt{6}\)

б) Высота параллелепипеда:

Рассмотрим высоту, опущенную на основание. Т.к. все грани - ромбы, высота образует прямоугольный треугольник со сторонами a, h и углом 60°.

Высота h равна: \(h = a \cdot sin(60°) = a\sqrt{2}\)

в) Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен углу между боковым ребром и высотой, опущенной на основание. Этот угол равен 45°.

г) Угол между соседними гранями:

Угол между соседними гранями равен углу ромба, т.е. 120°.