8.61. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая это основание под углом а и три боковых ребра призмы. Определите площадь полученного сечения и его острый угол, если сторона основания призмы рав на в.

Площадь трапеции равна: \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где a и b - основания, h - высота.

В данном случае, \(a = \frac{b}{2}\), \(b = \frac{b\sqrt{2}}{2}\), \(h = \frac{b}{2}\).

Следовательно, \(S = \frac{1}{2}(\frac{b}{2} + \frac{b\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{b}{2} = \frac{b^2(1 + \sqrt{2})}{8}\)

Чтобы найти угол, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции и боковым ребром. Угол между ними равен α.

Тогда, высота трапеции равна \(\frac{b}{2} = h \cdot cosα\), следовательно, \(h = \frac{b}{2cosα}\)

Подставим значение высоты в формулу площади трапеции:

\(S = \frac{b^2(1 + \sqrt{2})}{8} = \frac{b}{2} \cdot \frac{b\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{cosα} = \frac{b^2\sqrt{2}}{8cosα}\)

Для нахождения острого угла сечения рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный стороной основания и половинами боковых ребер. Угол между стороной основания и половиной бокового ребра равен \(\arccos{\frac{1}{3}}\) .