3. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны AD, угол АСВ = 100. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AD = x, тогда AC = 2x. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, BC = AD = x. Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике AC = 2x, BC = x, ∠ACB = 100°. По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}$$$$\frac{x}{\sin{\angle BAC}} = \frac{2x}{\sin{\angle ABC}}$$$$\sin{\angle ABC}} = 2\sin{\angle BAC}$$

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Пусть ∠BAC = α, тогда ∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - (∠ACB + ∠BCD) = 180° - (100° + ∠ACD). Так как ABCD - параллелограмм, то ∠ACD = ∠BAC = α, поэтому ∠ABC = 180° - 100° - α = 80° - α. Получаем:

$$\sin{(80^{\circ} - \alpha)} = 2\sin{\alpha}$$$$\sin{80^{\circ}}\cos{\alpha} - \cos{80^{\circ}}\sin{\alpha} = 2\sin{\alpha}$$$$\sin{80^{\circ}}\cos{\alpha} = (2 + \cos{80^{\circ}})\sin{\alpha}$$$$\tan{\alpha} = \frac{\sin{80^{\circ}}}{2 + \cos{80^{\circ}}}$$

$$\alpha = \arctan{\frac{\sin{80^{\circ}}}{2 + \cos{80^{\circ}}}} \approx 22.3^{\circ}$$

Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями. Угол между диагоналями является внешним углом треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной параллелограмма. Острый угол между диагоналями равен сумме двух несмежных с ним углов. Этот угол равен ∠AOB = ∠OAB + ∠OBA = ∠BAC + ∠BCA = 22.3° + 100° = 122.3°. Так как углы при пересечении диагоналей являются смежными, то острый угол между диагоналями равен 180° - 122.3° = 57.7°.

Ответ: 57.7°