В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC (см. рис.). Докажите, что BFDE — параллелограмм.

Обозначим точку пересечения диагоналей ABCD через O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — центр центральной симметрии, переводящей B в D и прямую AC в себя.

При этой симметрии перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC. Следовательно, основание E переходит в F, и O является серединой EF. Кроме того, O — середина BD.

Значит, диагонали четырёхугольника BFDE — BD и FE — пересекаются и делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма BFDE — параллелограмм.