7. В параллелограмме ABCD с острым углом А стороны равны 10 и векторов АВ и AD. 12, а его площадь равна 72. Найдите скалярное произведение

В параллелограмме ABCD с острым углом A стороны AB и AD равны 10 и 12 соответственно, площадь равна 72. Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$.

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними:

$$S = AB \cdot AD \cdot sin A$$

$$72 = 10 \cdot 12 \cdot sin A$$

$$sin A = \frac{72}{120} = \frac{6}{10} = 0,6$$

Т.к. угол A острый, то $$cos A > 0$$:

$$cos^2 A + sin^2 A = 1$$

$$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$$

Скалярное произведение векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ равно:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot cos A = AB \cdot AD \cdot cos A$$

$$= 10 \cdot 12 \cdot 0,8 = 120 \cdot 0,8 = 96$$

Ответ: 96