7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известно, что АВ = 5√2. Найдите скалярное произведение векторов АВ и СА.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что AB = 5√2. Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Т.к. треугольник равнобедренный, то AC = BC. Следовательно,

$$AB^2 = 2 \cdot AC^2$$

$$AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$$

Значит, AC = BC = 5.

Угол между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$ равен 135 градусам.

Скалярное произведение равно:

$$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot cos \angle (\vec{AB}, \vec{CA}) = AB \cdot CA \cdot cos 135^\circ$$

$$= 5 \sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 25 \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -25 \cdot \frac{2}{2} = -25$$

Ответ: -25