6. В треугольнике с вершинами в точках А(2;4), B(2;8) и С(6;4) найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Найдем векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$.

Координаты вектора $$\vec{AB}$$: (2-2; 8-4) = (0; 4).

Координаты вектора $$\vec{AC}$$: (6-2; 4-4) = (4; 0).

Косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$ вычисляется по формуле:

$$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$, где $$\|\vec{AB}\|$$ и $$\|\vec{AC}\|$$ - длины векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$ соответственно.

В нашем случае: $$\vec{AB}(0; 4)$$ и $$\vec{AC}(4; 0)$$.

Тогда скалярное произведение: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 0$$.

Длина вектора $$\vec{AB}$$, $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$$.

Длина вектора $$\vec{AC}$$, $$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$$.

Косинус угла между векторами: $$\cos A = \frac{0}{4 \cdot 4} = 0$$.

Если $$\cos A = 0$$, то угол A = 90°.

Ответ: 90