5. В параллелограмме ABCD сторона CD на 3 см меньше стороны ВС, BD=7 см, ∠A= 60°. Найдите площадь па- раллелограмма ABCD.

Пусть сторона CD = x, тогда сторона BC = x + 3. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD = x и AD = BC = x + 3.

В треугольнике ABD известны две стороны AB = x, AD = x + 3 и угол между ними ∠A = 60°, а также диагональ BD = 7 см. Применим теорему косинусов к треугольнику ABD:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos A$$

$$7^2 = x^2 + (x + 3)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 3) \cdot cos 60°$$

$$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2 \cdot x \cdot (x + 3) \cdot \frac{1}{2}$$

$$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x(x + 3)$$

$$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$

$$0 = x^2 + 3x - 40$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x - 40 = 0$$

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

$$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = -8 \text{ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)}$$

Итак, CD = AB = 5 см, BC = AD = 5 + 3 = 8 см.

Площадь параллелограмма равна:

$$S = AB \cdot AD \cdot sin A$$

$$S = 5 \cdot 8 \cdot sin 60°$$

$$S = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$$

Ответ: $$20\sqrt{3}$$ кв. см