377 В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой МQ, причём точка Н лежит на стороне МQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Дано: MNPQ - параллелограмм, NH ⊥ MQ, MH = 3 см, HQ = 5 см, \(∠MNH = 30°\).

Найти: MN, PQ, NP, MQ, углы параллелограмма.

Решение:

1. \(MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8\) см.


2. Так как MNPQ - параллелограмм, то NP = MQ = 8 см.


3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH. В нём \(∠H = 90°\), \(∠MNH = 30°\). Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Следовательно, MH = 0.5 * MN, отсюда MN = 2 * MH = 2 * 3 = 6 см.


4. Так как MNPQ - параллелограмм, то PQ = MN = 6 см.


5. В прямоугольном треугольнике MNH: \(∠M = 90° - ∠MNH = 90° - 30° = 60°\).


6. В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют 180°. Значит, \(∠N = 180° - ∠M = 180° - 60° = 120°\).


7. В параллелограмме противоположные углы равны: \(∠P = ∠M = 60°\) и \(∠Q = ∠N = 120°\).

Ответ: MN = 6 см, PQ = 6 см, NP = 8 см, MQ = 8 см, \(∠M = 60°\), \(∠N = 120°\), \(∠P = 60°\), \(∠Q = 120°\).