В параллелограмме одна из сторон равна 20 м, а диагонали равны 32 м и 40 м. Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями.

Обозначим диагонали через \(d_1=32\) м и \(d_2=40\) м, а неизвестную сторону — через \(b\).

1. По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух соседних сторон: \(32^2+40^2=2(20^2+b^2)\).
2. Тогда \(1024+1600=800+2b^2\), откуда \(b^2=912\), поэтому \(b=4\sqrt{57}\) м.
3. Для векторов диагоналей их скалярное произведение по модулю равно разности квадратов сторон параллелограмма: \(|d_1d_2\cos\varphi|=|20^2-b^2|=|400-912|=512\).
4. Следовательно, \(|\cos\varphi|=\dfrac{512}{32\cdot40}=\dfrac25\). Угол между диагоналями обычно понимают как меньший угол, поэтому его косинус положителен.

Ответ: неизвестная сторона равна \(4\sqrt{57}\) м, косинус меньшего угла между диагоналями равен \(\dfrac25\).