В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим сторону основания.

   Угол между апофемой и плоскостью основания равен 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Обозначим сторону основания как \( a \), а апофему как \( l \). Тогда:

   \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\] \[\sqrt{3} = \frac{6}{\frac{a}{2}}\] \[\frac{a}{2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\] \[a = 4\sqrt{3} \text{ см}\]
2. Шаг 2: Находим апофему. \[l = \frac{h}{\sin(60^\circ)}\] \[l = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]
3. Шаг 3: Находим площадь основания.

   Площадь основания:

   \[S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \text{ см}^2\]
4. Шаг 4: Находим боковую поверхность.

   Боковая поверхность пирамиды:

   \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} l\]

   Периметр основания:

   \[P_{\text{осн}} = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}\] \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96 \text{ см}^2\]
5. Шаг 5: Находим площадь полной поверхности пирамиды.

   Площадь полной поверхности:

   \[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 48 + 96 = 144 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна 144 см².