3). В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. Площадь основания:

$$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$$

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали квадрата и боковым ребром. Угол между боковым ребром и половиной диагонали равен 45°, следовательно, высота пирамиды равна половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата:

$$d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$

Высота пирамиды:

$$h = \frac{d}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$

Объем пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см}^3$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см}^3$$.