В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Расстояние от центра основания до боковой грани равно √6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать информацию об угле наклона боковых граней и расстоянии от центра основания до боковой грани. 1. Связь расстояния до грани и стороны основания: В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности в основание (r). Дано, что r = $$\sqrt{6}$$ см. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник связан со стороной (a) следующим образом: $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$ Отсюда можно найти сторону основания: $$a = 2\sqrt{3}r = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} ext{ см}$$ 2. Апофема пирамиды: Угол наклона боковой грани к основанию равен 45°. Это означает, что тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды (h) к радиусу вписанной окружности (r): $$tg(45^\circ) = \frac{h}{r} = 1$$ Таким образом, высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: $$h = r = \sqrt{6} ext{ см}$$ Теперь найдем апофему (l) боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{6 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ext{ см}$$ 3. Площадь боковой поверхности: Площадь одной боковой грани: $$S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{6} ext{ см}^2$$ Так как граней 3, то площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 6\sqrt{6} = 18\sqrt{6} ext{ см}^2$$ Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $$18\sqrt{6}$$ см².