3. В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

Пусть $$H$$ – основание высоты пирамиды, то есть центр основания (правильного треугольника $$ABC$$). Пусть $$K$$ и $$L$$ – середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Сечение проходит через точки $$K$$ и $$L$$ параллельно прямой $$MA$$. Тогда сечение – это треугольник $$KLN$$, где $$N$$ – точка на ребре $$BC$$. 1. Найдем сторону основания $$AB$$. Так как пирамида правильная, $$MA=MB=MC=6$$, а высота $$MH=3$$. Из прямоугольного треугольника $$MHA$$ имеем $$AH = \sqrt{MA^2 - MH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$. 2. $$AH$$ – радиус описанной окружности около правильного треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$AH = \frac{AB}{\sqrt{3}}$$. Тогда $$AB = AH \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$. 3. Так как $$K$$ и $$L$$ – середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то $$KL$$ – средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$KL = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AB = \frac{9}{2} = 4.5$$. 4. Сечение проходит параллельно прямой $$MA$$. Пусть $$P$$ – середина стороны $$BC$$. Тогда $$MP$$ – апофема пирамиды, а $$KL$$ параллельна $$BC$$, значит, $$KLN$$ – равнобедренный треугольник, и $$N$$ – середина $$BC$$. 5. Теперь нужно найти высоту сечения $$N_H$$. Поскольку сечение проходит через середины $$AB$$ и $$AC$$, то сечение $$KLN$$ подобно треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Значит, сечение параллельно плоскости основания и удалено от нее на расстояние, равное половине высоты пирамиды, то есть $$1.5$$. 6. Найдем апофему грани $$ABM$$: $$MP = \sqrt{MB^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{6^2 - (9/2)^2} = \sqrt{36 - 81/4} = \sqrt{(144-81)/4} = \sqrt{63/4} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$$. 7. Пусть $$N_H$$ – высота треугольника $$KLN$$, опущенная из точки $$N$$ на сторону $$KL$$. Тогда $$N_H$$ составляет половину апофемы, так как сечение параллельно прямой $$MA$$. $$N_H = \frac{MP}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$$. 8. Площадь сечения $$S_{KLN} = \frac{1}{2} cdot KL cdot N_H = \frac{1}{2} cdot \frac{9}{2} cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{27\sqrt{7}}{16}$$. Ответ: $$\frac{27\sqrt{7}}{16}$$