5. В правильный шестиугольник вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Разность периметра шестиугольника и периметра треугольника равна √27 см. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна a, а сторона правильного треугольника равна b. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника. Периметр шестиугольника: $$6a$$ Периметр треугольника: $$3b$$ $$6a - 3b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ см $$2a - b = \sqrt{3}$$ Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Радиус окружности, описанной около правильного треугольника: $$R = \frac{b}{\sqrt{3}}$$ Так как $$r = R$$, то $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{3}}$$ $$3a = 2b$$ $$b = \frac{3a}{2}$$ Подставим b в первое уравнение: $$2a - \frac{3a}{2} = \sqrt{3}$$ $$\frac{a}{2} = \sqrt{3}$$ $$a = 2\sqrt{3}$$ см $$b = \frac{3 * 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см Радиус окружности: $$r = \frac{2\sqrt{3} * \sqrt{3}}{2} = 3$$ см Площадь круга: $$S = \pi r^2 = \pi * 3^2 = 9\pi$$ см$$^2$$ Ответ: $$9\pi$$ см$$^2$$