В прямоугольнике ABCD известно, что AB = 12 см, ∠CAD = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

Для решения задачи нам понадобится знание о свойствах прямоугольника и теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр окружности.

1. Определение прямоугольника: Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

2. Свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

3. Теорема: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Пусть ABCD – данный прямоугольник, O – центр описанной окружности (точка пересечения диагоналей), R – радиус окружности.

Так как ABCD – прямоугольник, то ∠ABC = 90°.

Рассмотрим треугольник CAD. В нем ∠CAD = 30°, ∠ACD = 90° - 30° = 60°.

Диагональ AC является диаметром описанной окружности. Тогда радиус R = AC/2.

Найдем AC из треугольника CAD. Используем тригонометрическое соотношение:

$$sin(∠CAD) = \frac{CD}{AC}$$

$$AC = \frac{CD}{sin(∠CAD)}$$

Так как CD = AB = 12 см, то

$$AC = \frac{12}{sin(30°)} = \frac{12}{0.5} = 24 \text{ см}$$

Тогда радиус окружности равен:

$$R = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$$

Ответ: 12 см