584 В прямоугольнике ABCD найдите: a) AD, если АВ = 5, АС = 13; б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5; в) CD, если BD=17, BC = 15.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Известно, что AB = 5, AC = 13. Необходимо найти AD.

В прямоугольнике все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, AD = BC.

Выразим BC:

$$BC^2 = AC^2 - AB^2$$

$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}$$

$$BC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Следовательно, AD = 12.

Ответ: 12

б) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 1,5, AC = 2,5. Необходимо найти BC.

В прямоугольнике все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2$$

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, BC = AD.

Выразим AD:

$$AD^2 = AC^2 - CD^2$$

$$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}$$

$$AD = \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} = \sqrt{6.25 - 2.25} = \sqrt{4} = 2$$

Следовательно, BC = 2.

Ответ: 2

в) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Известно, что BD = 17, BC = 15. Необходимо найти CD.

В прямоугольнике все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. По теореме Пифагора:

$$BD^2 = BC^2 + CD^2$$

Выразим CD:

$$CD^2 = BD^2 - BC^2$$

$$CD = \sqrt{BD^2 - BC^2}$$

$$CD = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: 8