В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ рёбра $$BC$$, $$AB$$ и диагональ $$DA_1$$ боковой грани равны соответственно 5, 4 и $$\sqrt{34}$$. Найдите объём параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Для решения этой задачи, нам нужно найти все измерения прямоугольного параллелепипеда. 1. Дано, что $$BC = 5$$, $$AB = 4$$ и $$DA_1 = \sqrt{34}$$. Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - прямоугольный параллелепипед, то $$BC = AD = 5$$ и $$AB = CD = 4$$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADA_1$$. В этом треугольнике $$AD = 5$$, $$DA_1 = \sqrt{34}$$, и нам нужно найти $$AA_1$$, который является высотой параллелепипеда. 3. По теореме Пифагора: $$DA_1^2 = AD^2 + AA_1^2$$. Подставим известные значения: $$(\sqrt{34})^2 = 5^2 + AA_1^2$$, $$34 = 25 + AA_1^2$$, $$AA_1^2 = 34 - 25 = 9$$, следовательно, $$AA_1 = \sqrt{9} = 3$$. 4. Теперь, когда мы знаем все три измерения параллелепипеда: $$AB = 4$$, $$BC = 5$$ и $$AA_1 = 3$$, можем найти его объем, используя формулу $$V = abc$$, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ - измерения параллелепипеда. 5. $$V = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$$ Ответ: 60