6. В прямоугольном треугольнике АBC: ∠C=90°, ZА = 30°, АС = 10 см, САВ, DE⊥ АС. Найдите АЕ.

В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, ∠A = 30°, АС = 10 см.

СD - медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т.е. CD=AD=BD.

В треугольнике АСD ∠A=∠ACD=30°, значит, ∠СDA=180°-30°-30°=120°.

∠CDE=180°-∠CDA=180°-120°=60°.

В прямоугольном треугольнике DEC ∠DCE=90°-∠CDE=90°-60°=30°.

DE=1/2 * CD (катет, лежащий против угла 30°).

CD=1/2 * AB.

АВ = АС/cos A=10/cos 30 = 10 / ($$\frac{\sqrt{3}}{2}$$) = $$\frac{20}{\sqrt{3}}$$

DE=1/2 * CD = 1/2 * 1/2 * AB = 1/4 * AB = 1/4 * $$\frac{20}{\sqrt{3}}$$ = $$\frac{5}{\sqrt{3}}$$.

АЕ = АD - DE.

AD=1/2 * AB = 1/2 * $$\frac{20}{\sqrt{3}}$$ = $$\frac{10}{\sqrt{3}}$$

AE = $$\frac{10}{\sqrt{3}}$$- $$\frac{5}{\sqrt{3}}$$= $$\frac{5}{\sqrt{3}}$$= $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$ см.