4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), биссектриса \(AK\) равна 20 см, \(\angle AKB = 120^\circ\). Найдите расстояние от точки \(K\) до прямой \(AB\).

Обозначим расстояние от точки $$K$$ до прямой $$AB$$ как $$KH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из $$K$$ на $$AB$$. $$KH$$ – это искомое расстояние. Так как $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, то $$\angle CAK = \angle BAK = \frac{\angle A}{2}$$. В треугольнике $$AKB$$ известны два угла: $$\angle AKB = 120^\circ$$. Тогда угол $$\angle BAK = 180^\circ - \angle AKB - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - \angle B$$. В треугольнике $$ABC$$: $$\angle A + \angle B = 90^\circ$$. Значит, $$\angle B = 90^\circ - \angle A$$. Тогда $$\angle BAK = 180^\circ - 120^\circ - (90^\circ - \angle A) = 60^\circ - 90^\circ + \angle A = \angle A - 30^\circ$$. Так как $$AK$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle CAK = \angle BAK$$, то есть $$\frac{\angle A}{2} = \angle A - 30^\circ$$. $$\angle A = 2 \cdot (\angle A - 30^\circ)$$, $$\angle A = 2 \cdot \angle A - 60^\circ$$, $$\angle A = 60^\circ$$. Значит, $$\angle BAK = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$AKH$$: $$\sin(\angle BAK) = \frac{KH}{AK}$$. Тогда $$KH = AK \cdot \sin(\angle BAK) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$$ см. **Ответ: 10 см.**