4. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B равен 60°, а биссектриса BD равна 8 см. Найти катет AC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = 60^\circ\), биссектриса BD равна 8 см. Нужно найти катет AC. 1. Найдем угол ABD: Так как BD – биссектриса угла B, то \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). 2. Рассмотрим треугольник BCD: В этом треугольнике \(\angle BCD = 90^\circ\) и \(\angle DBC = 30^\circ\). Тогда \(\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 3. Найдем BC из треугольника BCD: Используем синус угла BDC: \(\frac{BC}{BD} = sin(\angle BDC)\) \(BC = BD \cdot sin(\angle BDC) = 8 \cdot sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) 4. Рассмотрим треугольник ABC: В этом треугольнике \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle B = 60^\circ\). Используем тангенс угла B: \(tan(\angle B) = \frac{AC}{BC}\) \(AC = BC \cdot tan(\angle B) = 4\sqrt{3} \cdot tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\) Таким образом, катет AC равен 12 см. Ответ: 12 см