2. В прямоугольном треугольнике АВC ∠C = 90°. AB = 15 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину катета АС.

2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), AB = 15 см, внешний угол при вершине B равен $$150^{\circ}$$.

Найти: AC.

Решение:

Внешний угол при вершине B равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

$$\angle A + \angle C = 150^{\circ}$$,

Т.к. \(\angle C = 90^{\circ}\), то \(\angle A = 150^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}\).

Тогда \(\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы:

$$AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5 \text{ см}$$

Ответ: 7.5 см