4. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, биссек- триса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до пря- мой АВ. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.

Пусть KD - расстояние от точки K до AB, тогда AK = 2KD.

Рассмотрим треугольник AKD. \(\sin ∠KAD = \frac{KD}{AK} = \frac{KD}{2KD} = \frac{1}{2}\)

Отсюда следует, что ∠KAD = 30°, а значит ∠BAC = 2 * 30° = 60° (так как AK - биссектриса).

В прямоугольном треугольнике ABC, если ∠BAC = 60°, то ∠ABC = 30°.

Тогда AC = AB * sin(∠ABC) = 32 * sin(30°) = 32 * 0.5 = 16 см.

Ответ: 16 см