257 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите АС и АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, у которого внешний угол при вершине A равен 120° и AC + AB = 18 см. Найдем AC и AB.

Внешний угол при вершине A равен 120°, следовательно, внутренний угол при вершине A равен 180° - 120° = 60°.

$$\angle A = 60^{\circ}$$

$$\angle C = 90^{\circ}$$

Тогда угол B равен:

$$\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$

Пусть AC = x, тогда AB (гипотенуза) в два раза больше катета, лежащего против угла 30°:

$$AB = 2x$$

Из условия AC + AB = 18 см, получаем:

$$x + 2x = 18$$

$$3x = 18$$

$$x = 6 \text{ см}$$

Таким образом, AC = 6 см, а AB = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см