В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А проведена биссек- триса ВК, равная B 12 см. Найдите больший катет, если известно, что 12 BK = KC. + A K C

Ответ: 12√2 см

1. Т.к. \(BK = KC\), то треугольник \(BKC\) — равнобедренный, значит углы при основании равны. Т.е. \(\angle KBC = \angle C\).
2. \(BK\) — биссектриса, следовательно, \(\angle ABK = \angle KBC\). Обозначим эти углы за \(x\). Тогда \(\angle C = x\).
3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) или \(90^\circ + 2x + x = 180^\circ\). Отсюда \(3x = 90^\circ\) и \(x = 30^\circ\).
4. Тогда \(\angle ABK = \angle KBC = 30^\circ\) и \(\angle C = 30^\circ\). Соответственно, \(\angle B = 60^\circ\).
5. Рассмотрим треугольник \(ABK\). В нём \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle ABK = 30^\circ\), \(BK = 12\) см. Тогда: \[AK = BK \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}\]
6. Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нём \(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\). Больший катет лежит против большего угла, то есть это катет \(AC\). \[\frac{AK}{AC} = \cos 30^\circ\] \[AC = \frac{AK}{\cos 30^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 12 \text{ см}\]

Ответ: 12√2 см