4) В равнобедренном треугольнике АВС угол А равен 15°, АВ = BC = 6 см. Найдите высоту треугольника, опу- щенную из вершины С.

Ответ: 3√2 - 3√6 см

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \(\angle A = \angle B = 15^\circ\).
2. Угол при вершине C равен \(180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ\).
3. Высота, опущенная из вершины C, является также медианой и биссектрисой. Обозначим основание высоты как точку H. Тогда треугольник \(ACH\) прямоугольный, \(\angle ACH = 75^\circ\), \(AC = 6\) см.
4. Высоту \(CH\) можно найти как: \[CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 6 \cdot \cos(75^\circ)\]
5. \(\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ) \cdot \cos(30^\circ) - \sin(45^\circ) \cdot \sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
6. Тогда высота равна: \[CH = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 0.776 \text{ см}\]

Ответ: 3√2 - 3√6 см