4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

1. Так как один из углов равен 45°, то второй острый угол тоже равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

2. Пусть катеты равны x. По теореме Пифагора: $$x^2 + x^2 = 10^2$$, $$2x^2 = 100$$, $$x^2 = 50$$, $$x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$$.

Ответ: 25